BAB I

SEBARAN PELUANG KONTINU

 

1. SEBARAN PELUANG KONTINU
   

   
    

   Peubah acak kontinu berpeluang nol untuk mengambil tepat salah satu nilainya. Akibatnya, sebaran peluangnya tidak dapat diberikan dalam bentuk tabel. Pada awalnya ini akan mengherankan, tetapi lama – lama akan menjadi jelas apabila kita memperhatikan ilustrasi berikut ini. Perhatikan peubah acak yang menyatakan tinggi badan semua orang yang berusia diatas 20 tahun. Antara dua nilai sembarang, misalnya 163,5 cm dan 164,5 cm, terdapat tak hingga banyaknya tinggi, dan hanya satu yang tepat 164 cm. Peluang mengambil secara acak orang yang tingginya tepat 164 cm, dan bukan salah satu diantara tak hingga banyaknya tinggi yang sangat dekat dengan 164 cm tetapi yang tidak dapat lagi dibedakan oleh manusia, adalah sangat kecil. Sehingga kita memberikan peluang nol pada kejadian tersebut. Tetapi tidak demikian halnya, bila kita membicarakan peluang terambilnya seseorang yang tingginya sekurang – kurangnya 163 cm tetapi tidak lebih dari 165 cm. Dalam hal ini kita berhadapan dengan sebuah selang nilai peubah acak , dan bukan tepat satu nilai peubah acak.
   

       Kita akan berkepentingan untuk menghitung peluang bagi berbagai selang peubah acak kontinu seperti dan lain sebagainya.
   

   Perhatikan bahwa bila X kontinu, maka :
   

   
    

   
    

   
    

   Jadi tidak ada bedanya apakah kita memasukan titik ujung selang atau tidak. Tetapi hal ini tidak benar bila X diskrit.
   

       Meskipun sebaran peluang bagi peubah acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel , tetapi sebaran ini dapat dinyatakan dalam bentuk rumus. Rumus itu merupakan fungsi nilai – nilai peubah acak kontinu X, sehingga dapat digambarkan sebagai suatu kurva kontinu. Fungsi peluang yang digambarkan oleh kurva ini biasanya disebut fungsi kepekatan peluang, atau lebih singkat lagi fungsi kepekatan. Kebanyakan fungsi kepekatan yang mempunyai penerapan praktis dalam analisis data statistik bersifat kontinu untuk semua nilai X, dan grafiknya mungkin seperti salah satu di antaranya yang ditunjukan gambar di bawah ini. Karena luas daerah akan digunakan untuk menyatakan peluang dan peluang itu positif, maka fungsi kepekatan terletak seluruhnya di atas sumbu –x sama dengan 1. Bila suatu fungsi kepekatan dinyatakan oleh kurva dalam gambar 5.3, maka peluang X mengambil nilai antara a dan b sama dengan luas daerah yang dihitami yang terletak di antara X =a dan x=b di bawah fungsi kepekatanya.
   

   
   

   
    

   
   

   
    

   DEFINISI: Fungsi Kepekatan Peluang,
   fungsi f
   disebut fungsi kepekatan Peluang bagi peubah acak kontinu X bila luas daerah di bawah kurva antara x=a dan x=b menyatakan peluang X terletak antara a dan b.
   

   
    

   Contoh:
   

       Sebuah peubah acak kontinu X yang mengambil nilai antara x= 2 dan x=4 mempunyai fungsi kepekatan peluang
   

               
   

   1. Perlihatkan bahwa
      
   2. Hitunglah
      
   3. Hitunglah
      

   Jawab
   

   1. Karena daerah yang dihitami dalam gambar 5.4 berupa sebuah trapesium, maka dengan luasnya sama dengan jumlah kedua sisi sejajar digandakan dengan alasnya dan kemudian dibagi 2. Jadi
      

      
       

 

 

Sekarang karena f(2) = dan , maka

        

1. Seperti sebelumnya , f(2)= dan kita peroleh f(3,5)= sehingga luas daerah yang dipahami dalam gambar 5.5 memberikan
   

   
    

   
    

   
    

2. Kita memperoleh bahwa f(2,4)= dan bersama – sama dengan f(3,5)= , kita dapat melihat gambar 5.6 bahwa
   

   
    

   
    

   
    

   
    

   
   

   
    

   
   

1. SEBARAN PELUANG BERSAMA
   

   
    

   Bila X dan Y adalah dua peubah acak diskrit, sebaran peluang bersamanya dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi f(x,y) bagi sebarang pasangan nilai (x,y) yang dapat diambil oleh peubah acak X dan Y. Fungsi ini biasanya disebut sebagai peluang Bersama bagi X dan Y. Jadi, dalam kasus peubah acak diskret.
   

   
    

           
   

   Artinya , nilai f(x,y) menyatakan peluang bahwa x dan y terjadi secara bersamaan. Misalnya, bila sebuah televisi harus diperbaiki dan X menyatakan umur televisi dalam tahun dan Y menyatakan banyaknya komponen yang rusak, maka f(3,5) adalah peluang bahwa televisi tersebut berumur 5 tahun dan memerlukan pergantian 3 komponen. Bila X dan Y keduanya merupakan peubah acak kontinu, fungsi kepekatan bersama –nya f(x,y) merupakan sebuah permukaan yang terletak diatas bidang – xy, dan sama dengan volume silinder tegak yang disebelah bawah dibatasi oleh A dan disebelah atas oleh bidang f(x,y), bila A adalah sembarang daerah di bidang – xy.
   

   
    

   Definisi : sebaran Peluang Bersama. Suatu tabel atau rumus yang mendaftarkan semua kemungkinan nilai x dan y bagi peubah acak diskrit X dan Y berikut peluang padanannya f(x,y) disebut sebaran peluang bersama.
   

   
    

   
    

   Contoh .
   

   
    

   Dua isi bolpen secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 bolpen biru, 2 merah , dan 3 hijau. Bila X adalah banyaknya isi bolpen biru dan Y banyaknya isi bolpen merah yang terpilih, tentukan :
   

   (a) fungsi peluang bersam f(x,y) dan
   

   (b) sedangkan
   

   
    

   Jawab
   

   1. Semua kemungkinan pasangan (x,y) adalah (0,0), (0,1) (1,0), (1,1), (0,2), dan (2,0). Sekarang f(0,1), misalnya, menyatakan peluang terambilnya isi bolpen hijau dan merah. Banyaknya cara mengambil 2 dari 8 isi bolpen adalah . banyaknya cara mengambil 1 dan 2 isi bolpen adalah merah dan 1 dari 3 isi bolpen hijau adalah 6.
      

      
       

      Sehingga f(0,1)=6/28=3/14, perhitungan serupa akan menghasilkan peluang bagi kemungkinan hasil lainnya, seperti yang disajikan dalam tabel 5.1 perhatikan bahwa jumlah semua peluangnya adalah satu.
      

      
      

      
       

   2. 
       

      
       

      
       

      Bila diketahui nilai – nilai f(x,y) dari sebaran peluang bersama bagi peubah acak diskret X dan Y, sebaran peluang berdimensi satu bagi X saja , yaitu g(x) , dan Y saja , yaitu h(y) diberikan oleh total kolom dan total barisnya seperti dalam tabel 5.1 . kita definisikan kedua fungsi itu sebagi sebaran marjinal masing – masing bagi X dan Y. Dengan demikian
      

      
       

      
       

      
       

      Definisi : Sebaran Bersyarat. Sebaran bersyarat bagi peubah acak diskret Y, untuk X =x, diberikan menurut rumus
      

      
       

              
      

      Begitu pula , sebaran bersyarat bagi peubah acak diskret X, untuk Y =y. Diberikan oleh rumus
      

      
       

              
      

      
       

      
       

      Contoh soal
      

      
       

      Dengan meruju pada contoh soal sebelumnya, tentukan untuk semua nilai x dan tentukan pula P ( X = 0 / Y = 1)
      

      
       

      Jawab
      

      
       

      Pertama-tama kita hitung
      

      
       

      Sekarang
      

      
       

      Sehingga
      

      
       

      
       

      Dan sebaran bersyarat X, untuk Y = 1, adalah
      

      
       

      Dan terakhir,
      

      
       

   DEFINISI: dua perubah acak yang bebas. Perubah acak X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika
   

   
    

   Untuk semua nilai kemungkinan X dan Y
   

   
    

    

Contoh soal

    Tunjukan bahwa kedua perubah acak dalam contoh soal 6 tidak bersifat bebas

    Jawab

    Baiklah kita perhatikan titik (0,1) dari tabel 5.1 kita menegtahui ketiga nilai peluang f(0,1), g(0), dan h(1)

    

Jelas bahwa

    

    Sehingga X dan Y tidak bebas

    
 

 

 

 

BAB II

PENUTUP

1. Saran
   

   
    

   Alhamdulillah segala puji hanya untuk Allah dan segala kekurangan hanya untuk bernama hamba. Terimakasih kepada semua teman – teman yang telah banyak berperan dalam peyelesaian makalah ini sehingga terselesaikannya makalah ini. Penyusun tidah banyak berbangga hati karena dalam karangan ilmiyah ini masih jauh dari kata sempurna , maka dari itu kritik dan saran dari AYAHANDA Bapak HASBI ASSIDQI, S.Pd, M.SI selaku dosen pengampu mata kuliah statistika matematika I sangat – sangat diharapkan dan dibutuhkan .